Anthropic研究員、數學家Levent Alpöge近日報告，他與兩位人類合作者Philippe Voinov、Saul Reynolds-Haertle，以及Anthropic的AI模型Claude，成功構造出668階哈達瑪矩陣，並額外給出了11個更高階矩陣，一舉解決了2000階以下所有此前懸而未決的哈達瑪矩陣階數問題。這一成果若獲確認，將成為FrontierMath基準測試中第4個被AI解決的開放問題。

哈達瑪矩陣是一種僅含+1和-1元素的方陣，要求任意兩行對應元素相乘後求和恰好為0。這一看似簡單的條件，卻與線性代數、有限域、數論及組合設計等多個高等數學分支緊密相連。該問題被收錄於FrontierMath基準測試——由陶哲軒等三位菲爾茲獎得主及IMO頂級教練等60餘人聯合出題的高階數學推理測試，旨在評估大模型的數學推理能力。目前，其研發機構EpochAI已將“構造668階哈達瑪矩陣”標記為“由AI解決”。

為何668階如此關鍵？2005年數學家構造出428階矩陣後，668便成為最小的未知階數。其分解式4×167依賴模4餘3素數的佩利有限域構造方法，長期只能生成近似矩陣，構造難度極大。此次突破不僅為組合設計理論補充了關鍵例證，也在編碼、訊號處理等工程領域具有實際應用價值。

值得注意的是，MenloVentures合夥人Deedy Das曾嘗試讓Claude解讀這組矩陣，但被拒絕。最終指令碼輸出了12組符號，分別對應668、716、892、1132、1244、1388、1436、1676、1772、1916、1948和1964階矩陣。其中668階矩陣的對角線元素全部為668，非對角線最大絕對值為0，計算驗證顯示答案嚴絲合縫。

此次解題團隊包括Alpöge、Voinov、Reynolds-Haertle及Claude。目前尚無法判斷這批結果來自改進的搜尋策略，還是一條可推廣的通用構造方法。具體規律及能否推廣至2000階以上，仍有待完整技術報告揭曉。

近一個月來，AI在數學領域捷報頻傳：張益唐長期研究的雅可比猜想被人類聯手Claude（Fable 5）推翻；Anthropic一個未公開的Claude研究模型將黎曼猜想的下界大幅推高。AI正逐漸成為人類數學家的超級推演助理、永不疲倦的審稿人及高維空間探索器。